Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen by N. H. Abel, E. Galois

By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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Satz III). Was die Gleichung in 11 alllangt, so werden wir zeigen, dass ihre Wurzeln dieselbe Eigenschaft besitzen wie diejenigen der g'egebenen Gleichung rp(x) = 0, nämlich durch eine von ihnen rational unsdriickbar zu sein. Die Grösse Y ist (V gl. " {)n-Ix. Setzt man I =f(x, t}x, {}2 X , ... , {ln-lX), 11J . , 1<)"-1) Xm- l . Y G8) ...... f (x . "lU-I'

Dd rationale Functionen von cos --;' sm -;;:- un er Coefficiellten von tp(x) uud {}x sind. Man erhält alle Wurzeln, wenn man m die Werte 0, 1, 2, 3, ... , IL - 1 beilegt. Der vorstehende Ausdruck von x liefert das folgende Resnltat: Satz V. Um die Gleichung tp(x)=O aufzulösen, genügt es: 1) den ganzen Umfang des Kreises in p. gleiche 'reile zu teilen; 2) einen Winkel 0, den man alsdann construieren l,ann, in p. gleiche Teile zu teilen; 3) die Quadratwurzel aus einer einzigen Grösse p zu ziehen.

R = 0 die irreduetible Gleichung in y und Abcl u. Galois, Algeb\'. Gleichungen. 4 50 AbeJ. Der Voraussetzung naeh haben die Functionell Hund Ht die Eigenschaft, dass fHftx = ft1ftx ist, eine Gleichung, die dem Satze I zufolgtl auch gelten wird, wenn man für x irgend eine andere Wurzel der Gleichung 'fex) = 0 substituiert. /t über in: VI = {(ftIX, Htft,v, 1t1lt 2X, ... , (flftn-IX), und man sieht, dass VI ebenso wie V eine rationale und symmetrische Function der Wurzeln ist. Man kann daher (§ 2) VI rational durch V nnd durch behnnte Grössen ausdrücken.

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