Analysis 1, Second Edition (Springer-Lehrbuch) by Stefan Hildebrandt

By Stefan Hildebrandt

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H. ν = µ + 1) durchf¨ uhren: k ν=0 k k−ν ν+1 b = a ν k µ=0 k k−µ µ+1 b = a µ k+1 ν=1 k ak+1−ν bν . 6 Binomischer Satz. Binomialkoeffizienten 31 Hieraus ergibt sich k+1 (a + b) = k k+1 a + 0 k k k + ν ν−1 ν=1 k k+1 b . k ak+1−ν bν + Wegen k 0 k+1 0 =1= , k k =1= k+1 k+1 k k + ν ν−1 , = k+1 ν folgt die gew¨ unschte Behauptung: k+1 k+1 (a + b) = ν=0 k + 1 k+1−ν ν a b . ν Bemerkung 1. Beim Beweis haben wir nur benutzt, daß a und b Elemente eines K¨ orpers K sind. Die Behauptung (2) gilt also f¨ ur beliebige a, b ∈ K, insbesondere also f¨ ur beliebige a, b ∈ C.

Induktionsprinzip) Ist M induktiv und M ⊂ N, so gilt M = N. Beweis. Nach Voraussetzung gilt M ⊂ N, und aus der Definition von N folgt N ⊂ M . Also haben wir M = N. Aus dem Induktionsprinzip ergibt sich ein wichtiges Beweisprinzip, n¨amlich der Beweis durch vollst¨ andige Induktion. Mit seiner Hilfe l¨aßt sich feststellen, ur Aussage“ daß eine ganze Folge von Aussagen B1 , B2 , . . , Bn , . . richtig ist. F¨ ” benutzen wir gleichbedeutend auch Behauptung“. ” 16 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis Satz 2.

An < 1. ) durch a1 :=√1, a2 := 1, an+2 := 9. Die Zahlen a1 , a2 , . . , an , . . seien induktiv definiert √ an + an+1 f¨ ur n ≥ 1, und sei x1 := 12 (1 + 5), x2 := 12 (1 − 5). Zu beweisen ist: √ n an = (xn 1 − x2 )/ 5. 10. Man zeige, daß zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen stets eine Irrationalzahl liegt. 6 Binomischer Satz. Binomialkoeffizienten 6 29 Binomischer Satz. Binomialkoeffizienten F¨ ur α ∈ R und k ∈ N0 f¨ uhren wir zun¨ achst die als Binomialkoeffizienten beα zeichneten Zahlen ein (man lese: α u ucke ¨ber k“) als die Ausdr¨ ” k α 0 α k := 1 , := α(α − 1) .

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