Analysis 2 by Otto Forster

By Otto Forster

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A. Schwarz sagt jedoch, dass es bei stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf die Reihenfolge der Differentiation nicht ankommt. § 5 Partielle Ableitungen 55 Satz 1 (Schwarz). Sei U ⊂ Rn offen und f :U → R eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt f¨ur alle a ∈ U und alle i, j = 1, 2, . , n D j Di f (a) = Di D j f (a). Beweis. Es bedeutet keine Einschr¨ankung der Allgemeinheit anzunehmen, dass n = 2, i = 1, j = 2 und a = 0. Statt (x1 , x2 ) schreiben wir zur Vereinfachung (x, y).

Der Gradient ∇ f einer partiell differenzierbaren Funktion f : U → R ist ein spezielles Vektorfeld. Definition (Divergenz). Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und v = (v1 , . . h. alle Komponenten vi : U → R seien partiell differenzierbar). Dann heißt die Funktion ∂vi i=1 ∂xi n divv := ∑ die Divergenz 1 des Vektorfeldes v. Bemerkung. Formal kann man die Divergenz von v als Skalarprodukt des Differentialoperators ∇ mit dem Vektor v schreiben, ∂ vi . ∂x i i=1 n divv = ∇, v = ∑ Die Produktregel liefert f¨ur die Divergenz die folgende Rechenregel: Auf einer offenen Menge U ⊂ Rn sei f : U → R eine differenzierbare Funktion und v : U −→ Rn ein partiell differenzierbares Vektorfeld.

Daraus folgt Ui1 ∪ . . d. Satz 5 (Heine-Borel). Eine Teilmenge A ⊂ Rn ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ankt ist. Beweis. Ist A kompakt, so ist es nach Satz 3 abgeschlossen und beschr¨ankt. Ist A beschr¨ankt und abgeschlossen, so ist A in einem gen¨ugend großen abgeschlossenen Quader Q enthalten, der nach Satz 2 kompakt ist. Nach Satz 4 ist dann A kompakt. 2) Beispiel. Sei A ⊂ R kompakt. Da A beschr¨ankt ist, sind sup(A) und inf(A) endlich. Es existieren Folgen xk ∈ A, yk ∈ A, (k ∈ N), mit lim xk = sup(A) und lim yk = inf(A), § 3 Kompaktheit 31 vgl.

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