Analysis 1 by Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

By Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

Dieses Lehrbuch ist der erste Band einer dreiteiligen Einf?hrung in die research. Es ist durch einen modernen und klaren Aufbau gepr?gt, der versucht den Blick auf das Wesentliche zu richten. Anders als in den ?blichen Lehrb?chern wird keine k?nstliche Trennung zwischen der Theorie einer Variablen und derjenigen mehrerer Ver?nderlicher vorgenommen. Der Leser soll in dem Erkennen der wesentlichen Inhalte und Ideen der research geschult werden und sich ein solides Fundament f?r das Studium tieferliegender Theorien erwerben. Das Werk richtet sich an H?rer und Dozenten der Anf?ngervorlesung der research. Durch zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Erg?nzungen zum ?blichen Vorlesungsstoff ist der textual content ausserdem zum Selbststudium, als Vorlage f?r vertiefende Seminare und als Grundlage f?r das gesamte Mathematik- bzw. Physikstudium geeignet.

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0 ∈ M . Es sei nun m ∈ M . 4). Also geh¨ ort auch ν(m) zu M , und (N1 ) impliziert M = N. 2) erf¨ ullt. 1). 5) und ϕn ν(m) = ν ϕn (m) ∀ m ∈ N . Mit ϕ0 := ν erkennen wir, daß 0 ∈ N gilt. Es sei nun wieder n ∈ N gegeben. Dann gibt es ur alle m ∈ N. Wir setzen ein ϕn : N → N mit ϕn (0) = ν(n) und ϕn ν(m) = ν ϕn (m) f¨ ψ: N→N , m → ν ϕn (m) . Dann gelten ψ(0) = ν ϕn (0) = ν ν(n) sowie ψ ν(m) = ν ϕn (ν(m)) = ν ν(ϕn (m)) = ν ψ(m) , m∈N. Also folgt aus n ∈ N stets auch ν(n) ∈ N . Wiederum liefert (N1 ), daß N = N gilt.

1) erf¨ ullt, bewiesen. Wir haben bereits gezeigt, daß ” n + 0 = n f¨ ur n ∈ N gilt. 3) ergibt sich, daß 0 das neutrale Element der Addition ist. (d) Wir verifizieren die Assoziativit¨ at der Addition. Dazu w¨ ahlen wir , m ∈ N beliebig und setzen N := n ∈ N ; ( + m) + n = + (m + n) . 1) ( + m) + ν(n) = ν ( + m) + n = ν + (m + n) = + ν(m + n) = + m + ν(n) . Somit folgt aus n ∈ N stets ν(n) ∈ N . Nach Axiom (N1 ) bedeutet dies N = N. (e) Um die Kommutativit¨ at der Addition zu beweisen, betrachten wir zuerst die Menge N := { n ∈ N ; n + 1 = 1 + n }.

M} eine weitere j=0 zj g mit zk ∈ {0, . . , g − 1} f¨ ur k ∈ {0, . . , }. Darstellung von n, so folgen = m und yk = zk f¨ 50 I Grundlagen 6 Abz¨ahlbarkeit Unsere Ausf¨ uhrungen im letzten Paragraphen haben gezeigt, daß das Wesen un” endlicher Mengen“ f¨ ur die Konstruktion der nat¨ urlichen Zahlen von grundlegender Bedeutung ist. h. die Bijektion N → 2N, n → 2n, welche die nat¨ urlichen Zahlen umkehrbar eindeutig auf die geraden Zahlen abbildet, daß ein vorsichtiger Umgang mit dem Unendlichen“ ” angebracht ist: Denn die obige Abbildung suggeriert doch, daß es gleich viele“ ” nat¨ urliche wie gerade Zahlen gibt.

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